INTRODUCCIÓN

Cuando era un niño mi padre me construyó una cometa con una tela roja, unas varillas de caña y una larga cola con lazos atados. Para volarla la sujetaba con una cuerda de bramante que enrollaba en un palo de madera. Así nació en mí la afición por las cometas, que ahora de mayor comparto con Ana, Carlos, Sergio, Enzo y Saúl.

Espero que algunas cosas que veáis en este blog os animen a practicar y compartir esta afición tan agradable y entretenida. Las cometas no son simples juguetes, sino que representan un medio a través del cual se expresa la cultura y el arte de numerosos pueblos del mundo.

En la columna principal del blog podrás leer artículos de divulgación relacionados con las cometas. En la barra lateral derecha puedes acceder a páginas más personales clasificadas por temas y también a diferentes tipos de recursos.


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ARTÍCULO ALEATORIO

Cómo hice una cometa afgana

He construido esta cometa procurando respetar la técnica y materiales que utilizan los constructores de cometas de Afganistán:

Cometa afgana (vista anterior). Diseño y construcción: Juan Antonio Muñoz.  Foto: Juan A. Muñoz
Cometa afgana (vista anterior)
(Foto: Juan Antonio Muñoz)

La cometa afgana, en general, tiene forma de rombo, casi cuadrada, con una proporción entre sus diagonales de entre 1 a 1,1. Es decir, si D es la diagonal mayor y d es la diagonal menor entonces:


En este caso, la diagonal mayor de mi cometa mide 88 cm (longitud) y la menor 78 cm (anchura), por tanto la relación entre ambas es de 1,1.

Para construir la cometa he utilizado papel de cometa rojo y azul de 42 g/m2, bambú, un cordel de algodón, pegamento de barra e hilo para la brida.

El armazón está construido con varillas de bambú que previamente había cortado y preparado a partir de una caña de este material, procurando no eliminar el lado de la corteza para no perder elasticidad. La varilla vertical se denomina flecha (diagonal menor) y la varilla horizontal curvada se llama arco (diagonal mayor):

Cometa afgana (vista posterior). Diseño y construcción: Juan Antonio Muñoz.  Foto: Juan A. Muñoz
Cometa afgana (vista posterior) mostrando el arco y la flecha
(Foto: Juan Antonio Muñoz)

Hay que tallar el bambú de tal forma que la flecha sea más rígida que el arco. Los bordes del arco se afilan más en los extremos que en el centro para que el arco sea más flexible en los extremos que en el centro.

Las dimensiones de los diferentes elementos se indican en el siguiente plano en centímetros, mostrando en color morado las varillas de bambú:

Plano de la cometa afgana. Dibujo: Juan Antonio Muñoz
Plano de la cometa afgana
(Dibujo: Juan Antonio Muñoz)

Dimensiones en centímetros:

AB
CD
AF
BE
CFD
AC, AD
CB, DB
HG, GI
HBI
78
88
8
26
107
56
61,5
36
66

Los lados de la cometa que se muestran con una línea negra en el plano están formados por un cordón de algodón atado a las varillas de bambú.

La brida va sujeta en los puntos F y E señalados con un círculo rojo en el plano. Su longitud debe ser una vez y media superior a la del arco de la cometa. El punto de amarre de la brida es ajustable mediante un lazo con un nudo Prussik, que permite ajustar la longitud de sus cabos para conseguir el ángulo apropiado de la cometa para el vuelo.

Para ensamblar la cometa, primero se pega el larguero o flecha a la hoja de papel, dejando el lado más rígido de la flecha en la parte superior de la cometa, es decir, en el lado donde se pegará el arco:


Ensamblaje de la cometa afgana  (Dibujo: Juan Antonio Muñoz)
Ensamblaje de la cometa afgana
(Dibujo: Juan Antonio Muñoz)

El arco se coloca curvado sobre el papel de tal forma que su parte superior no sobresalga del papel, como se muestra en la figura anterior. Los extremos del arco y de la flecha pueden sobresalir de la hoja, porque después se podrán cortar las partes que sobresalgan del papel. Nunca se deben cortar el arco y la flecha con las longitudes exactas.

El papel debe ser unos pocos centímetros más grande que el arco en los extremos de la cometa, formando una zona triangular, como se muestra en la figura anterior. Estas partes que sobresalen del arco se doblan y pegan sobre el arco para pegarlas sobre la hoja, tal como indican las flechas curvadas de la figura. En esta operación hay que sujetar firmemente los extremos del arco en su posición para mantener el arco curvado y presionar la parte pegada durante unos segundos para que el pegamento actúe y el papel no se rompa.

Para formar el perímetro de la cometa se utiliza un hilo ligero, en este caso de algodón. Sobre este hilo se podrá doblar el papel de la cometa formando un dobladillo de unos 5 mm de anchura. Se ata con dos o tres vueltas en cada extremo de la flecha y el arco:

Formación del perímetro de la cometa con un cordón atado a las varillas (Dibujo: Juan Antonio Muñoz)
Formación del perímetro de la cometa
con un cordón atado a las varillas
(Dibujo: Juan Antonio Muñoz)

Se puede empezar atando el hilo en el punto 1, enrollarlo alrededor del arco haciendo un nudo en el punto 2, después en el punto 3, y así hasta completar el perímetro en el punto 1 donde se comenzó. Conviene reforzar los nudos con un poco de pegamento para que el hilo no se mueva.

Los extremos de la flecha se refuerzan con piezas de papel pegadas en la parte posterior de la cometa. Para decorar esta última se pegan en la parte anterior unos recortes de papel de diferente color (en este caso azul), en forma de rombo en la punta y ondulados a ambos lados del arco, así como la característica “cola” de la cometa afgana con forma de sector elíptico:

Decoración de la cometa afgana. Diseño y construcción: Juan Antonio Muñoz. Foto: Ana Romero
Decoración de la cometa afgana
(Foto: Ana Romero)

Remontando la cometa afgana. Diseño y construcción: Juan Antonio Muñoz. Foto: Ana Romero
Remontando la cometa afgana
(Foto: Ana Romero)

La cometa afgana en vuelo. Diseño y construcción: Juan Antonio Muñoz. Foto: Ana Romero
La cometa afgana en vuelo
(Foto: Ana Romero)


Para saber más:

Las cometas en Afganistán

Geometría de la cometa

En geometría existe un cuadrilátero no regular denominado cometa o deltoide convexo, que se caracteriza por tener dos pares de lados consecutivos iguales. Para los aficionados a las cometas se trata de la típica cometa de diamante o de rombo:


Cometa o deltoide
Cometa o deltoide

Las cometas que tienen dos ángulos rectos (B y D) son cuadriláteros bicéntricos porque pueden ser inscritos en un círculo y circunscritos por otro. Estos cuadriláteros se llaman cometas correctas:

Cometa o deltoide inscribible y circunscribible. Dibujo: Juan Antonio Muñoz
Cometa o deltoide inscribible y circunscribible
Los ángulos B y D son rectos (90°), A=60°, C=120°
I: centro del círculo inscrito. O: centro del círculo circunscrito

Esta cometa tiene lados contiguos iguales dos a dos, AB = AD = a y CD = CB = b, y dos diagonales perpendiculares, que corresponden al travesaño (t) y al larguero (l), que a su vez representa la línea de simetría de la cometa. 

Entre todos los cuadriláteros bicéntricos con dos radios de circunferencia dados, el que tiene el área máxima es una cometa correcta.

Para construir una cometa de este tipo a partir del valor conocido del larguero (l) necesitamos conocer el valor del travesaño (t) y el punto donde se cruzan ambas varillas, es decir, el valor de x:

Plano de una cometa correcta. Dibujo: Juan Antonio Muñoz
Plano de una cometa correcta

Cálculo del valor del travesaño (t):

Sabemos que α = 60°
En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:

En el triángulo ABG, rectángulo en G, se tiene que:

Igualando [1] y [2] se tiene que:




Cálculo del valor de x:


En el triángulo CGB, rectángulo en G, se tiene que:

Con estos datos ya podemos construir nuestra cometa correcta puesto que conocemos la longitud del larguero, el travesaño y el punto donde se cruzan.

Pero podemos conocer más datos de esta cometa:

Cálculo de la longitud de los lados:

En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:




Cálculo del área de la cometa:

Vamos a considerar la superficie de la cometa como la suma de las superficies de los dos triángulos rectángulos iguales ABC y ADC:



Entonces el área de la cometa, K, será:

También se podría hallar, de manera más fácil, por el área de un rectángulo, ya que los dos triángulos rectángulos ABC y ADC colocados debidamente, forman un rectángulo de base a y altura b:


Luego Área (K) = a
·b

Cálculo del radio de la circunferencia inscrita (r):





Para una cometa correcta se cumple la siguiente igualdad:





Cálculo de la distancia entre el incentro y el circuncentro (p):

Según el Teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico como esta cometa:



Luego:




Para saber más:

Cuadriláteros bicéntricos



En la redacción de este artículo ha colaborado mi amigo y matemático Remigio Gómez Bernal.