Geometría de la cometa

En geometría existe un cuadrilátero no regular denominado cometa o deltoide convexo, que se caracteriza por tener dos pares de lados consecutivos iguales. Para los aficionados a las cometas se trata de la típica cometa de diamante o de rombo:

Cometa o deltoide

Las cometas que tienen dos ángulos rectos (B y D) son cuadriláteros bicéntricos porque pueden ser inscritos en un círculo y circunscritos por otro. Estos cuadriláteros se llaman cometas correctas:

Cometa o deltoide inscribible y circunscribible

Los ángulos B y D son rectos (90°), A=60°, C=120°

I: centro del círculo inscrito. O: centro del círculo circunscrito

Esta cometa tiene lados contiguos iguales dos a dos, AB = AD = a y CD = CB = b, y dos diagonales perpendiculares, que corresponden al travesaño (t) y al larguero (l), que a su vez representa la línea de simetría de la cometa. 

Entre todos los cuadriláteros bicéntricos con dos radios de circunferencia dados, el que tiene el área máxima es una cometa correcta.

Para construir una cometa de este tipo a partir del valor conocido del larguero (l) necesitamos conocer el valor del travesaño (t) y el punto donde se cruzan ambas varillas, es decir, el valor de x:

Plano de una cometa correcta

Cálculo del valor del travesaño (t):

Sabemos que α = 60°

En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:

En el triángulo ABG, rectángulo en G, se tiene que:

Igualando [1] y [2] se tiene que:

Cálculo del valor de x:

En el triángulo CGB, rectángulo en G, se tiene que:

Con estos datos ya podemos construir nuestra cometa correcta puesto que conocemos la longitud del larguero, el travesaño y el punto donde se cruzan.

Pero podemos conocer más datos de esta cometa:

Cálculo de la longitud de los lados:

En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:

Cálculo del área de la cometa:

Vamos a considerar la superficie de la cometa como la suma de las superficies de los dos triángulos rectángulos iguales ABC y ADC:

Entonces el área de la cometa, K, será:

También se podría hallar, de manera más fácil, por el área de un rectángulo, ya que los dos triángulos rectángulos ABC y ADC colocados debidamente, forman un rectángulo de base a y altura b:

Luego Área (K) = a·b

Cálculo del radio de la circunferencia inscrita (r):

Para una cometa correcta se cumple la siguiente igualdad:

Cálculo de la distancia entre el incentro y el circuncentro (p):

Según el Teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico como esta cometa:

Luego:




Para saber más:

Cuadriláteros bicéntricos

En la redacción de este artículo ha colaborado mi amigo y matemático Remigio Gómez Bernal.