Tarey Bhir es uno de los parajes más hermosos del estado de Sikkim en la India. Es una maravilla geológica formada por una cresta de 10.000 metros de largo que termina en una abrupta caída de 1000 metros. Hay un camino por el borde de la cresta por el que se puede caminar y disfrutar de magníficas vistas:
Un festival de cometas entre dos años
Hay varios festivales de cometas en el mundo que se celebran el último día de 2018 o el primero de 2019 (ver Lugares del mundo donde se vuelan cometas), pero el festival de Tarey Bhir en la India es el único que comienza y termina entre dos años, 31 de diciembre de 2018 y 1 de enero de 2019.
Fuente: Sikkim: Get ready to be mesmerised by Tarey Bhir’s divine beauty
Volar cometas por la paz
Desde hace varias décadas han surgido en todo el mundo diversos proyectos solidarios que utilizan el vuelo de cometas como una acción simbólica de apoyo a la paz en comunidades asoladas por la violencia, como Kites for peace, One Sky One World, Talking Kites Around the World, Fly for peace o Fly Kites Not Drones. Mucho de estos proyectos están apoyados por Naciones Unidas y la Unesco como una declaración multicultural de esperanza frente a la violencia y el miedo.
Para difundir este mensaje de paz se pueden tomar fotos de las personas con sus cometas y compartirlas en las redes sociales, especialmente con otras personas que vuelan cometas por la paz por todo el mundo: www.facebook.com/flykitesnotdrones, @kitesnotdrones, #flykitesnotdrones.
Para saber más:
Fly Kites Not Drones
Flying Kites For Peace
Comparte: cometas por la paz
Kites for peace
Kites for Peace
Cometas por la paz (en este mismo blog)
Con estos eventos se intenta sensibilizar a la población sobre el aumento de los conflictos armados en el mundo, organizando talleres para niños y niñas en los que además de aprender a construir y volar cometas, comparten conceptos básicos sobre la paz. Lo más frecuente es que los participantes escriban en cada cometa un deseo personal como mensaje de paz y solidaridad:
Desde este blog te animamos a que vueles una cometa por la paz. La puedes comprar en una tienda, pero si la haces puedes diseñarla para que sea realmente tuya. Hay excelentes tutoriales y vídeos en Internet que enseñan a construir cometas. Nosotros te facilitamos unos planos y las instrucciónes para hacer una cometa con papel y varillas de madera:
¿Cuándo deberías volar una cometa por la paz? Por supuesto en cualquier momento, pero hay varias fechas en el año en que resulta apropiado volar cometas por la paz:
- Año Nuevo occidental: 1 de enero.
- Año Nuevo afgano: 21 de marzo.
- Día internacional de los niños como víctimas de la guerra: 4 de junio.
- Día Internacional de la Paz de la ONU: 21 de septiembre.
- Día internacional de “Cometas por la Paz”: segundo domingo de octubre.
- Día universal del niño: 20 de noviembre.
- Día de los derechos humanos: 10 de diciembre.
Volando nuestra Cometa por la Paz
(Foto: Ana Romero)
Nuestra cometa en rombo decorada con dos palomas de la paz
que se corresponden con el logotipo de la organización del
Día Internacional de la Paz
(Foto: Juan A. Muñoz)
En los colegios, los docentes pueden aprovechar esta iniciativa para organizar una experiencia de aula, donde además de construir y volar cometas por la paz, se propongan a los estudiantes diferentes cuestiones que deban investigar:
- ¿Qué hace volar una cometa? ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre una cometa?
- Investigar en Internet diferentes tipos de cometas utilizadas en todo el mundo. Elegir el modelo favorito y preparar un diseño propio.
- Buscar información sobre polígonos para utilizar en el diseño de cometas.
- Escribir un poema sobre una cometa.
Para saber más:
Fly Kites Not Drones
Flying Kites For Peace
Comparte: cometas por la paz
Kites for peace
Kites for Peace
Cometas por la paz (en este mismo blog)
Cómo hice una cometa afgana
He construido esta cometa procurando respetar la técnica y materiales que utilizan los constructores de cometas de Afganistán:
Los lados de la cometa que se muestran con una línea negra en el plano están formados por un cordón de algodón atado a las varillas de bambú.
La brida va sujeta en los puntos F y E señalados con un círculo rojo en el plano. Su longitud debe ser una vez y media superior a la del arco de la cometa. El punto de amarre de la brida es ajustable mediante un lazo con un nudo Prussik, que permite ajustar la longitud de sus cabos para conseguir el ángulo apropiado de la cometa para el vuelo.
Para ensamblar la cometa, primero se pega el larguero o flecha a la hoja de papel, dejando el lado más rígido de la flecha en la parte superior de la cometa, es decir, en el lado donde se pegará el arco:
Para saber más:
Las cometas en Afganistán
Cometa afgana (vista anterior)
(Foto: Juan Antonio Muñoz)
La cometa afgana, en general, tiene forma de rombo, casi cuadrada, con una proporción entre sus diagonales de entre 1 a 1,1. Es decir, si D es la diagonal mayor y d es la diagonal menor entonces:
En este caso, la diagonal mayor de mi cometa mide 88 cm
(longitud) y la menor 78 cm (anchura), por tanto la relación entre ambas es de
1,1.
Para construir la cometa he utilizado papel de cometa rojo y
azul de 42 g/m2, bambú, un cordel de algodón, pegamento de barra e
hilo para la brida.
El armazón está construido con varillas de bambú que
previamente había cortado y preparado a partir de una caña de este material,
procurando no eliminar el lado de la corteza para no perder elasticidad. La
varilla vertical se denomina flecha
(diagonal menor) y la varilla horizontal curvada se llama arco (diagonal mayor):
Cometa afgana (vista posterior) mostrando el arco y la flecha
(Foto: Juan Antonio Muñoz)
Hay que tallar el bambú de tal forma que la flecha sea más rígida que el arco. Los bordes del arco se afilan más en los extremos que en el centro para que el arco sea más flexible en los extremos que en el centro.
Las dimensiones de los diferentes elementos se indican en el siguiente plano en centímetros, mostrando en color morado las varillas de bambú:
Plano de la cometa afgana
(Dibujo: Juan Antonio Muñoz)
Dimensiones en centímetros:
AB
|
CD
|
AF
|
BE
|
CFD
|
AC, AD
|
CB, DB
|
HG, GI
|
HBI
|
78
|
88
|
8
|
26
|
107
|
56
|
61,5
|
36
|
66
|
La brida va sujeta en los puntos F y E señalados con un círculo rojo en el plano. Su longitud debe ser una vez y media superior a la del arco de la cometa. El punto de amarre de la brida es ajustable mediante un lazo con un nudo Prussik, que permite ajustar la longitud de sus cabos para conseguir el ángulo apropiado de la cometa para el vuelo.
Para ensamblar la cometa, primero se pega el larguero o flecha a la hoja de papel, dejando el lado más rígido de la flecha en la parte superior de la cometa, es decir, en el lado donde se pegará el arco:
Ensamblaje de la cometa afgana
(Dibujo: Juan Antonio Muñoz)
El arco se coloca curvado sobre el papel de tal forma que su parte superior no sobresalga del papel, como se muestra en la figura anterior. Los extremos del arco y de la flecha pueden sobresalir de la hoja, porque después se podrán cortar las partes que sobresalgan del papel. Nunca se deben cortar el arco y la flecha con las longitudes exactas.
El papel debe ser unos pocos centímetros más grande que el arco en los extremos de la cometa, formando una zona triangular, como se muestra en la figura anterior. Estas partes que sobresalen del arco se doblan y pegan sobre el arco para pegarlas sobre la hoja, tal como indican las flechas curvadas de la figura. En esta operación hay que sujetar firmemente los extremos del arco en su posición para mantener el arco curvado y presionar la parte pegada durante unos segundos para que el pegamento actúe y el papel no se rompa.
Para formar el perímetro de la cometa se utiliza un hilo ligero, en este caso de algodón. Sobre este hilo se podrá doblar el papel de la cometa formando un dobladillo de unos 5 mm de anchura. Se ata con dos o tres vueltas en cada extremo de la flecha y el arco:
Formación del perímetro de la cometa
con un cordón atado a las varillas
(Dibujo: Juan Antonio Muñoz)
Se puede empezar atando el hilo en el punto 1, enrollarlo alrededor del arco haciendo un nudo en el punto 2, después en el punto 3, y así hasta completar el perímetro en el punto 1 donde se comenzó. Conviene reforzar los nudos con un poco de pegamento para que el hilo no se mueva.
Los extremos de la flecha se refuerzan con piezas de papel pegadas en la parte posterior de la cometa. Para decorar esta última se pegan en la parte anterior unos recortes de papel de diferente color (en este caso azul), en forma de rombo en la punta y ondulados a ambos lados del arco, así como la característica “cola” de la cometa afgana con forma de sector elíptico:
Decoración de la cometa afgana
(Foto: Ana Romero)
Remontando la cometa afgana
(Foto: Ana Romero)
La cometa afgana en vuelo
(Foto: Ana Romero)
Para saber más:
Las cometas en Afganistán
Geometría de la cometa
En geometría existe un cuadrilátero no regular denominado cometa o deltoide convexo, que se caracteriza por tener dos pares de lados consecutivos iguales. Para los aficionados a las cometas se trata de la típica cometa de diamante o de rombo:
Cálculo de la longitud de los lados:
En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:
Luego Área (K) = a·b
Cálculo de la distancia entre el incentro y el circuncentro (p):
Según el Teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico como esta cometa:
Luego:
Para saber más:
Cuadriláteros bicéntricos
Cometa o deltoide
Las cometas que tienen dos ángulos rectos (B y D) son cuadriláteros bicéntricos porque pueden ser inscritos en un círculo y circunscritos por otro. Estos cuadriláteros se llaman cometas correctas:
Cometa o deltoide inscribible y circunscribible
Los ángulos B y D son rectos (90°), A=60°, C=120°
I: centro del círculo inscrito. O: centro del círculo circunscrito
Esta cometa tiene lados contiguos iguales dos a dos, AB = AD = a y CD = CB = b, y dos diagonales perpendiculares, que corresponden al travesaño (t) y al larguero (l), que a su vez representa la línea de simetría de la cometa.
Entre todos los cuadriláteros bicéntricos con dos radios de circunferencia dados, el que tiene el área máxima es una cometa correcta.
Para construir una cometa de este tipo a partir del valor conocido del larguero (l) necesitamos conocer el valor del travesaño (t) y el punto donde se cruzan ambas varillas, es decir, el valor de x:
Plano de una cometa correcta
Cálculo del valor del travesaño (t):
Sabemos que α = 60°
En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:
En el triángulo ABG, rectángulo en G, se tiene que:
Igualando [1] y [2] se tiene que:
Cálculo del valor de x:
En el triángulo CGB, rectángulo en G, se tiene que:
Con estos datos ya podemos construir nuestra cometa correcta puesto que conocemos la longitud del larguero, el travesaño y el punto donde se cruzan.
Pero podemos conocer más datos de esta cometa:
En el triángulo ABC, rectángulo en B, se tiene que:
Cálculo del área de la cometa:
Vamos a considerar la superficie de la cometa como la suma de las superficies de los dos triángulos rectángulos iguales ABC y ADC:
Entonces el área de la cometa, K, será:
También se podría hallar, de manera más fácil, por el área de un rectángulo, ya que los dos triángulos rectángulos ABC y ADC colocados debidamente, forman un rectángulo de base a y altura b:
Luego Área (K) = a·b
Cálculo del radio de la circunferencia inscrita (r):
Para una cometa correcta se cumple la siguiente igualdad:
Según el Teorema de Fuss para un cuadrilátero bicéntrico como esta cometa:
Para saber más:
Cuadriláteros bicéntricos
En la redacción de este artículo ha colaborado mi amigo y matemático Remigio Gómez Bernal.
Cómo hice la cometa Kerori
La cometa Kerori que he construido es tradicional de la provincia de Aichi, situada en la región central de Japón. El origen del nombre es confuso. Su forma recuerda a una cometa Revolution y se cree que deriva del abanico plegable japonés. En el pasado, parece que esta cometa se regalaba para celebrar el nacimiento del primer hijo varón, pues los abanicos eran considerados como presagio de buena suerte.
En su construcción he utilizado papel japonés washi y varillas de bambú. La cometa mide aproximadamente 60 cm de alto y 92 cm de ancho:
Para saber más: Mis cometas artesanales.
En su construcción he utilizado papel japonés washi y varillas de bambú. La cometa mide aproximadamente 60 cm de alto y 92 cm de ancho:
Cometa Kerori (vista anterior)
(Foto: Juan A. Muñoz)
El armazón está construido con varillas de bambú, que previamente había cortado y preparado a partir de una caña de este material. Los extremos de las varillas sujetan el cordón de nailon que forma el perímetro de la cometa. La estructura del armazón se muestra en la siguiente foto:
Armazón de la cometa Kerori
(Foto: Juan A. Muñoz)
He seguido la técnica de construcción de esta cometa que se aplica en la ciudad de Tahara, utilizando dos varillas verticales unidas con papel encolado para sujetar las varillas diagonales:
Detalle del doble larguero para sujetar las varillas diagonales
(Foto: Juan A. Muñoz)
Las varillas de bambú están unidas con hilo torzal de poliéster muy resistente. Las uniones están reforzadas con cola blanca.
Las dimensiones de los diferentes elementos se indican en el siguiente plano en centímetros, mostrando en color morado las varillas de bambú y en negro los cordones de nailon atados a las varillas de bambú:
Plano de la cometa Kerori
(Dibujo: Juan A. Muñoz)
AB
|
CD
|
BE, AF
|
CG
|
GD
|
AE, BF
|
ED, FD
|
BG, AG
|
EG, FG
|
GH
|
92
|
51
|
100
|
34
|
17
|
60,5
|
36
|
57
|
43
|
10
|
Las varillas de bambú tienen una sección de entre 7 y 5 mm de ancho y unos 3 mm de grosor. La brida va sujeta en los puntos C y H, señalados con un círculo rojo en el plano. El punto de amarre de la brida es ajustable mediante un lazo con un nudo prussik, que permite ajustar la longitud de sus cabos para conseguir el ángulo apropiado de la cometa para el vuelo.
En el travesaño horizontal AB coloqué un tensor de hilo de poliéster utilizando un nudo tensor (tautline hitch) con el fin de curvar la superficie de la cometa para darle más estabilidad en el vuelo:
Cometa Kerori con hilo tensor (vista posterior)
(Foto: Juan Antonio Muñoz)
La cubierta de la cometa es de papel japonés “Tosa-washi” con un gramaje de 52 g/m2. Está pegada al armazón con cola blanca y decorada con pinturas acrílicas. Aunque la cometa Kerori no tiene un tipo tradicional de decoración pictórica, yo he decidido decorarla con la cabeza de un guerrero samurái:
Mostrando la cometa Kerori
(Foto: Ana Romero)
Esta cometa se suele volar con un arco de sonido llamado “Unari”, que se sujeta en la parte superior de la cometa. El arco que he construido está hecho con bambú y una tira de mylar. Produce un ronco sonido al moverlo rápidamente en el aire:
Arco de sonido para la cometa Kerori
(Foto: Juan A. Muñoz)
El arco debe quedar sujeto a la cometa por el saliente de la varilla vertical y al travesaño por dos puntos con cuerdas. En la siguiente foto he colocado provisionalmente el arco en la cometa para mostrar cómo quedaría, aunque todavía no está sujeto al travesaño:
Arco de sonido colocado provisionalmente
en la cometa (vista anterior)
(Foto: Juan A. Muñoz)
Arco de sonido colocado provisionalmente
en la cometa (vista posterior)
(Foto: Juan A. Muñoz)
Volando la cometa Kerori
(Foto: Ana Romero)
Cometa Kerori en vuelo
(Foto: Ana Romero)
Volar cometas con imaginación
Algunos aficionados a las cometas hacen volar también su
imaginación y elevan sus cometas de formas muy curiosas y desde los sitios más
insospechados. He aquí algunos ejemplos:
Desde lo alto de un edificio, como esta cometa sujeta a una caña en lo alto del edificio Condor House (10 St. Paul's Churchyard) en frente de la Catedral de San Pablo de Londres:
Desde una bicicleta:
Desde una moto:
Desde un coche:
Desde un caballo:
Con patines:
Desde un coche RC:
Con un perro:
Desde un tren:
Desde un kayak:
Desde un barco:
Cometa volando en lo alto del edificio Condor House de Londres
(Foto: Juan A. Muñoz)
Catedral de San Pablo de Londres con la cometa al fondo
(Foto: Juan A. Muñoz)
Con animales de peluche:
(Foto: Juan A. Muñoz, Festival de Dieppe 2018)
(Foto: Juan A. Muñoz, Festival de Dieppe 2018)
Con un esqueleto:
(Foto: Juan A. Muñoz, Festival de Dieppe 2018)
(Foto: Juan A. Muñoz, Festival de Dieppe 2018)
El problema de la cometa
En noviembre de 2017, un examen de matemáticas realizado en Nueva Zelanda (NCEA nivel 1) fue noticia por la controversia que causó entre los estudiantes de 15 años por la dificultad de unos de los problemas acerca de una cometa. Este hecho recibió una gran cobertura en Nueva Zelanda e incluso en algunos medios de noticias británicos y estadounidenses.
El enunciado del problema decía:
La cometa GDBE se coloca en el cuadrado ACHF en el que DG = GB = EG. Calcula el valor “x” del ángulo DBE. Justifica tu respuesta con un razonamiento geométrico claro.
Para saber más:
El enunciado del problema decía:
La cometa GDBE se coloca en el cuadrado ACHF en el que DG = GB = EG. Calcula el valor “x” del ángulo DBE. Justifica tu respuesta con un razonamiento geométrico claro.
El problema se puede resolver de varias formas (ver enlaces al final del artículo). Mi amigo y matemático Remigio Gómez Bernal me ha facilitado la siguiente solución al problema:
(Dibujo: Remigio Gómez, Juan A. Muñoz)
Como
curiosidad, esta cometa, con los datos obtenidos, es la sexta parte de un
dodecágono:
(Dibujo: Remigio Gómez, Juan A. Muñoz)
Una forma fácil de construir esta cometa es la siguiente:
(Dibujo: Juan A. Muñoz, Remigio Gómez)
- Construimos un triángulo equilátero ABC.
- Trazamos la altura BD a uno de sus lados, la base.
- Trazamos el arco de circunferencia con centro en B y radio BA.
- El arco corta a BD en H.
- Entonces ABCH será la vela de la cometa.
- Las dos varillas de la cometa se representan en morado y con círculos rojos los puntos (B e I) donde se sujetarían los dos cabos de la brida.
- Por último, añadir una cola y curvar la varilla horizontal mediante una línea tensora para estabilizar el vuelo de la cometa.
Para saber más:
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